MATHEMATICS OLYIMPIAD CLUB HARI KE-2

MATHEMATICS OLYIMPIAD CLUB  HARI KE-2

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

ALJABAR LINIER ELEMENTER

A.     Matriks Eselon Baris Tereduksi

Syarat matriks berbentuk Eselon Baris Tereduksi

1.      Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (Kita namakan satu satuan)

2.      Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama dibawah matriks

3.      Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi.

4.      Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol ditempat lain.

Keterangan

1-3 Merupakan syarat dari bentuk Eselon Baris

1-4 merupakan syarat dari bentuk Eselon Baris Tereduksi

Contoh Eselon Baris Tereduksi

,    ,      , 

Contoh Eselon Baris

  ,  ,   

Matriks Diperbesar

Contoh:

Diketahui Sistem Persamaan Linier Berikut

 

 

 

Bentuk matriks diperbesar dari sistem persamaan: linier tersebut adalah:
 

B.     Eliminasi Gauss-Jordan

Adalah prosedur yang digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Adapun prosedurnya adalah dengan melakukan Operasi Baris Elementer:

1.      Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol.

2.      Pertukarkan dua baris tersebut.

3.      Tambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.

Contoh:

Ubahlah sistem persamaan di bawah ini dalam bentuk matriks diperbesar dan lakukan reduksi untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi.

Jawab:

Bentuk Eselon baris dari sistem persamaan tersebut adalah:

 

Untuk mengubah matriks tersebut dalam bentuk eselon baris lakukan langkah-langkah berikut:

1.      -Kurangkan baris kedua dengan 2 kali baris pertama

-Kurangkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama

2.      Bagi baris kedua dengan 2 untuk mendapatkan satu utama:

3.      –Kurangkan baris pertama dengan baris kedua

-Kurangkan baris ketiga dengan tiga kali baris kedua.

4.      –Kurangkan baris pertama dengan  kali baris ketiga

 –Tambahkan baris kedua dengan   kali baris ketiga

Apabila kita kembalikan kembali dalam bentuk sistem persamaan maka kita akan mendapatkan:

 

 

 

Latihan.

1.      ONMIPA tahun 2009

Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks

2.      Untuk nilai-nilai  yang manakah sistem berikut a. tidak mempunyai pemecahan? b. Persis satu(unik) pemecahan? c. Tak hingga banyaknya pemecahan.

 

 

 

Jawab:

1.      Dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. -Kurangkan baris kedua dengan baris pertama

 -Kurangkan baris ketiga dengan baris pertama

b. Kurangkan baris ketiga dengan 2 kali baris kedua

c. Kurangkan baris kedua dengan 4 kali baris pertama

d. Bagi baris kedua dengan

e. Kurangkan baris pertama dengan dua kali baris kedua

2.      Diketahui

Ubah sistem persamaan tersebut dalam bentuk Matriks diperbesar

a.       Tidak mempunyai pemecahan

Lakukan OBE (operasi baris elementer)

   

  ,

Untuk mencari tidak ada solusi maka kita akan mengnolkan salah satu baris dimana pada bagian akhir kolom tidak bernilai nol.

Perhatikan baris ke-empat

 dan

Akan didapatkan

b.      Persis satu (unik) pemecahan

Pada OBE terakhir kita dapatkan:

 

Sistem persamaan memiliki solusi satu solusi apabila dapat dibentuk eselon baris tereduksi dengan setiap kolom memiliki satu utama

Dengan melakukan OBE kita dapatkan

,

Perhatikan baris ketiga

 

 

Jadi memiliki solusi apabila

c.       Memiliki tidak hingga pemecahan

Untuk sistem persamaan yang memiliki 3 variabel akan memiliki tak hingga pemecahan apabila ada satu baris (satu parameter) atau dua baris (dua parameter) yang bernilai nol.

Perhatikan OBE terakhir bagian a

,

Akan kita dapatkan:

 

 

 

Latihan dirumah

Misalkan matriks

Merupakan matriks yang diperbesar untuk sebuah sistem linier. Untuk nilai-nilai  dan  berapakah sistem tersebut mempunyai:

a.       Sebuah pemecahan yang unik (satu pemecahan).

b.      Sebuah pemecahan yang berparameter satu.

c.       Sebuah pemecahan yang berparameter dua.

d.      Tidak ada pemecahan.

Nada Cinta di Balik Wajahnya By Yusrina Fitria

Malam itu aku masih mengumpulkan potongan – potongan kisah yang bersisa akibat kejadian tak terduga itu. Mungkin aku masih menjadi perasa ulung. Mengintip – intip waktu dari balik layar malam dengan tanda tanya yang siap ditembakkan ke penjuru malam.

“Ra, sudah makan belum ? Sudah salat belum ?” Satu pesan hadir di layar mini telepon genggamku.

“Belum. Aku belum lapar. Aku juga banyak tugas. Nanti saja.” Ku hias balasan pesan itu dengan satu sentuhan titik dari jempol kananku.

Jam dinding masih setia mencari angka tiga belas dan tak kunjung bersua.

“Mungkin malam ini aku harus berbohong lagi.” Desahku dalam hati.

Ku coba menghapus sebentar tentang moment senja sepekan yang lalu. Ya. Dia datang lagi ke rumah seperti biasanya di setiap awal bulan. Tanpa ditanya pun aku sudah tahu apa yang akan dia lontarkan padaku. Lontaran yang hanya berputar satu arah, arah yang sama.

Senja itu, ia kembali menceritakan hal – hal aneh yang menurutku tak perlu ia ceritakan lagi. Mungkin ia berpikir aku akan luluh dengan semua itu. Mungkin ini bentuk keegoisanku yang makin hari semakin memuncak.

“Baiknya kau baca ini. Kisah – kisahnya banyak menginspirasi kita.” Ia raih sebuah buku dari ransel hitamnya dengan hati – hati.

“Aku tidak perlu ini. Aku perlu hiburan.”

Aku masih memainkan gadgetku dengan mata yang tak mengarah ke hadapannya.

“Lihat dulu. Ini kisah inspiratif di zaman Rasulullah, Ra.”

Mungkin ia berpikir bahwa aku akan bersahabat dengan buku – buku yang selalu ia bawa ke rumah. Tidak. Aku rasa aku tak butuh buku untuk saat ini. Aku tidak bisa menguntai kata demi kataku lagi padanya untuk membuat ia mengerti.

“Islam itu Indah. Tersenyumlah.”

Aku sempatkan mencuri pandang ke arah buku yang ditawarkannya. Sampulnya cantik dengan kombinasi warna biru lembut yang menyejukkan mata. Namun, hasratku belum merasa diundang untuk menerimanya. Ku tunggu ia sampai memasukkan kembali buku cantik itu ke dalam ranselnya lagi.

“Baiklah, mungkin sekarang kau belum ingin membacanya. Bair ku simpan di lemari bukumu.” Seketika ia berdiri dan menaruh benda biru itu ke dalam lemari kayu milik kami.

Esok siangnya ia kembali berbenah untuk kembali ke Solo. Ia adalah seorang mahasiswa ilmu Biologi di perguruan tinggi terbaik di kotaku.

 nb : masih dalam proses pembuatan, hanya sekadar intro dulu, hehe...