MATHEMATICS
OLYIMPIAD CLUB HARI KE-2
UNIVERSITAS
NEGERI PADANG
ALJABAR
LINIER ELEMENTER
A.
Matriks Eselon Baris Tereduksi
Syarat matriks berbentuk Eselon
Baris Tereduksi
1.
Jika
baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam
baris tersebut adalah 1. (Kita namakan satu satuan)
2.
Jika
terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu
dikelompokkan bersama-sama dibawah matriks
3.
Dalam
sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka
1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat jauh ke kanan dari satu utama
dalam baris yang lebih tinggi.
4.
Masing-masing
kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol ditempat lain.
Keterangan
1-3 Merupakan syarat dari bentuk
Eselon Baris
1-4 merupakan syarat dari bentuk
Eselon Baris Tereduksi
Contoh Eselon Baris Tereduksi
,
,
,
Contoh Eselon Baris
,
,
Matriks Diperbesar
Contoh:
Diketahui Sistem Persamaan Linier
Berikut
Bentuk
matriks diperbesar dari sistem
persamaan: linier tersebut adalah:
B.
Eliminasi Gauss-Jordan
Adalah prosedur yang digunakan
untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Adapun
prosedurnya adalah dengan melakukan Operasi
Baris Elementer:
1.
Kalikan
sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol.
2.
Pertukarkan
dua baris tersebut.
3.
Tambahkan
perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya.
Contoh:
Ubahlah
sistem persamaan di bawah ini dalam bentuk matriks diperbesar dan lakukan
reduksi untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi.
Jawab:
Bentuk Eselon baris dari sistem
persamaan tersebut adalah:
Untuk
mengubah matriks tersebut dalam bentuk eselon baris lakukan langkah-langkah
berikut:
1.
-Kurangkan
baris kedua dengan 2 kali baris pertama
-Kurangkan baris ketiga dengan 3
kali baris pertama
2.
Bagi
baris kedua dengan 2 untuk mendapatkan satu utama:
3.
–Kurangkan
baris pertama dengan baris kedua
-Kurangkan
baris ketiga dengan tiga kali baris kedua.
4.
–Kurangkan
baris pertama dengan
kali baris ketiga
–Tambahkan baris kedua dengan
kali baris ketiga
Apabila kita kembalikan kembali dalam
bentuk sistem persamaan maka kita akan mendapatkan:
Latihan.
1. ONMIPA
tahun 2009
Bentuk
eselon baris tereduksi dari matriks
2. Untuk nilai-nilai
yang manakah sistem berikut a. tidak mempunyai
pemecahan? b. Persis satu(unik) pemecahan? c. Tak hingga banyaknya pemecahan.
Jawab:
1.
Dengan
melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
a. -Kurangkan baris kedua dengan baris
pertama
-Kurangkan
baris ketiga dengan baris pertama
b. Kurangkan baris ketiga dengan 2 kali
baris kedua
c. Kurangkan baris kedua dengan 4 kali
baris pertama
d. Bagi baris kedua dengan
e. Kurangkan baris pertama dengan dua
kali baris kedua
2. Diketahui
Ubah
sistem persamaan tersebut dalam bentuk Matriks diperbesar
a.
Tidak
mempunyai pemecahan
Lakukan
OBE (operasi baris elementer)
,
Untuk
mencari tidak ada solusi maka kita akan mengnolkan salah satu baris dimana pada
bagian akhir kolom tidak bernilai
nol.
Perhatikan
baris ke-empat
dan
Akan
didapatkan
b.
Persis
satu (unik) pemecahan
Pada
OBE terakhir kita dapatkan:
Sistem
persamaan memiliki solusi satu solusi apabila dapat dibentuk eselon baris
tereduksi dengan setiap kolom memiliki satu
utama
Dengan
melakukan OBE kita dapatkan
,
Perhatikan
baris ketiga
Jadi
memiliki solusi apabila
c.
Memiliki
tidak hingga pemecahan
Untuk
sistem persamaan yang memiliki 3 variabel akan memiliki tak hingga pemecahan
apabila ada satu baris (satu parameter)
atau dua baris (dua parameter) yang
bernilai nol.
Perhatikan OBE terakhir bagian a
,
Akan
kita dapatkan:
Latihan dirumah
Misalkan
matriks
Merupakan
matriks yang diperbesar untuk sebuah
sistem linier. Untuk nilai-nilai
dan
berapakah sistem tersebut mempunyai:
a.
Sebuah
pemecahan yang unik (satu pemecahan).
b.
Sebuah
pemecahan yang berparameter satu.
c.
Sebuah
pemecahan yang berparameter dua.
d.
Tidak
ada pemecahan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar