ALGEBRA TASK

1.      Buktikan bahwa jika x dan y adalah bilangan rasional yang memenuhi pesamaan x⁵ + y⁵ = 2x²y²

                         maka 1 − xy adalah kuadrat dari suatu bilangan rasional .

2.      Nilai dari ( - + ) = ....

a.        8-

b.        8- 2

c.       

d.       8+

e.        8+2

3.      Jika  dengan a dan b bilangan bulat, maka a + b = ….    

1. -5
2. -3
3. -2
4. 2
5. 3

4.      Nilai  yang memenuhi persamaan  adalah ....

a.       2

b.      ½

c.       1/3

d.      –1/2

e.       – 2

                          

5.      Diketahui x = 64 dan y = 8 maka nilai x^-2/3 . y^4/3 = ....

a.        1

b.        16

c.        64

d.       128

e.        256

6.      Bentuk sederhana dari 2 + adalah ....

1. 8+ 6
2. 4+ 8
3. 8+ 4
4. 4+ 6
5. +

7.       Untuk n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n² + 2n + 12 bukan merupakan kelipatan 121.

Solusi :

            Untuk bentuk n = 11k, 11k + 1, 11k + 2, 11k + 3, 11k + 4, 11k + 5, 11k + 6, 11k + 7, 11k + 8, 11k + 9 maka nilai n² + 2n + 1 tidak ada yang habis             dibagi 11. (Bisa dibuktikan dengan memasukkan ke dalam persamaan             tersebut). Hanya bentuk 11k + 10 saja yang membuat n² + 2n + 1 habis       dibagi 11.

Untuk n = 11k + 10 maka n² + 2n + 12 = 121k² + 242k + 132 = 121 (k² + 2k + 1) + 11 maka :

n² + 2n + 12 jika dibagi 121 bersisa 11.

Terbukti bahwa n² + 2n + 12 bukan merupakan kelipatan 121.

8.     

1. 4
2. 6
3. 8
4. 9
5. 10

9.      Jika a = 8 dan b = 9, maka a  x b  = ....

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

10.  Bentuk pangkat bulat positif dari  adalah ....

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

11.  Bentuk pangkat pecahan positif dari  adalah ....                                                                                                        

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

12.   = ....

1. 2/25
2. 2/5
3. 5/4
4. 5/2
5. 25/4

13.   = ....

a.       150 - 24

b.      144 - 12

c.       138

d.      150

e.       138

14.  Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari    adalah….

a.       2-3

b.          3-3

c.           3-2

d.          4-2

e.           4+2

15.  = .....

1. 2⁴ 3²
2. 2⁷ 3²
3. 2⁶ 3⁵
4. 2⁸ 3²
5. 2⁸ 3⁵

16.  Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari    adalah….    

1. –7 - 4
2. –7 -
3. 7 - 4
4. 7 + 4
5. 7 -

17.  Nilai x yang memenuhi persamaan 4^x+1 = 8^x-1 adalah….

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 7

18.  Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan 2.2^2x = 17 – 2^3-2x .

Nilai x₁ + x₂ = ....

1. 8
2. 6
3. 2
4. 1
5. 

19.  Misalkan a, b dan c adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa :

(a) 4(a³ + b³) ≥ (a + b)³

(b) 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³

(Sumber : British Mathematical Olympiad 1996 Round 1) Solusi :

(a) Karena a, b > 0 maka a + b > 0 dan (a − b)² ≥ 0

(a + b)(a − b)² ≥ 0

a³ − a²b − ab² + b³ ≥ 0

3a³ + 3b³ ≥ 3a²b + 3ab²

4a³ + 4b³ ≥ a³ + 3a²b + 3ab² + b³

4(a³ + b³) ≥ (a + b)³ (terbukti)

(b) Dari persamaan di atas didapat :

4(a³ + b³) ≥ (a + b)³

4a³ + 4b³ ≥ a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

4(a³ + c³) ≥ (a + c)³

4a³ + 4c³ ≥ a³ + 3a²c + 3ac² + c³ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

4(b³ + c³) ≥ (b + c)³

4b³ + 4c³ ≥ b³ + 3b²c + 3bc² + c³ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

(1) + (2) + (3)

8a³ + 8b³ + 8c³ ≥ 2a³ + 2b³ + 2c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² + 3b²c + 3bc²

7a³ + 7b³ + 7c³ ≥ a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² + 3b²c + 3bc² ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)

2a³ + 2b³ + 2c³ ≥ 6abc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5)

(4) + (5) :

9a³ + 9b³ + 9c³ ≥ a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ (terbukti)

20.  Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 96 m². Jika selisih panjang dan lebarnya sama dengan setengah kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah ....

1. 4
2. 6
3. 4
4. 6
5. 8

21.  Ditentukan nilai a = 9, b = 16, dan c = 36. Nilai  = ....

1. 3
2. 1
3. 9
4. 12
5. 18

22. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n maka 121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 2000.

Solusi :

Dasar : aⁿ − bⁿ habis dibagi a − b untuk n bilangan asli.

121ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 125

1900ⁿ − 25ⁿ habis dibagi 1875 sedangkan 125⏐1875 maka 125⏐1900ⁿ − 25ⁿ

121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 125

121ⁿ − 25ⁿ habis dibagi 96 sedangkan 16 membagi 96. Maka 16⏐121ⁿ − 25ⁿ

1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 1904 sedangkan 16⏐1904. Maka 16⏐1900ⁿ − (−4)ⁿ

121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 16.

Karena 121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 125 dan juga 16 sedangkan 125 dan 16 relatif prima maka 121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 125 ⋅ 16 = 2000

Terbukti bahwa 121ⁿ − 25ⁿ + 1900ⁿ − (−4)ⁿ habis dibagi 2000.

23.                 (kedua ruas dipangkatkan 3)

Persamaan diatas hanya dipenuhi oleh x = 1 

24.  Persamaan kuadrat x² + ax + b + 1 = 0 dengan a, b adalah bilangan bulat, memiliki akar-akar bilangan asli. Buktikan bahwa a² + b² bukan bilangan prima. Solusi :

Misalkan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan x² + ax + b + 1 = 0 maka :

x₁ + x₂ = −a

x₁ x₂ = b + 1 􀃆 b = x₁ x₂ − 1

a² + b² = (x₁ + x₂)² + (x₁ x₂ − 1)²

a² + b² = x₁² + x₂² +2x₁x₂ + (x₁ x₂)² − 2 x₁x₂ + 1

a² + b² = (x₁x₂)² + x₁² + x₂² + 1

a² + b² = (x₁² + 1) (x₂² + 1)

Karena x₁ dan x₂ keduanya adalah bilangan asli maka (x₁² + 1) dan (x₂² + 1) keduanya adalah bilangan asli lebih dari 1.

Maka a² + b² adalah perkalian dua bilangan asli masing-masing > 1 yang mengakibatkan a² + b² adalah bukan bilangan prima. (terbukti)

25 . k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan k.

Solusi :

            Misal ketiga barisan aitmatika tersebut adalah a − b, a, a + b. Kuadratnya    adalah (a − b)², a², (a + b)².

a² + b² − 2ab = 36 + k, a² = 300 + k dan a² + b² + 2ab = 596 + k

a² − (a² + b² − 2ab) = 300 + k − (36 + k) = 264

b(2a − b) = 264 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

a² + b² + 2ab − a² = 596 + k − (300 + k)

b(2a + b) = 296 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

296(2a − b) = 264(2a + b)

592a − 296b = 528a + 264b

64a = 560b

4a = 35b

Dari persamaan (1) didapat

b(4a − 2b) = 528 􀃆 b = ±4 􀃆 a = ±35

(a − b)² = 31² = 36 + k

k = 925